Üstlü İfadeler
a bir reel sayı (gerçel) sayı ve n pozitif bir tam sayı olsun.
a.a.a.a....a = an
olacak şekilde, n tane a nın çarpımı olan an ye üslü ifade denir.
Örnek:
3.3.3.3.3 = 35
Kural:- a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a0 = 1 dir.
- 00 ifadesi tanımsızdır.
- 1n = 1dir. n Î IR
- amn ifadesi belirsizdir.
Üssün Üssü
Bir üstlü ifadenin üssü, üstlerin çarpımıdır.
(an)m = (am)n = am.n
Örnek:
2x = y
olduğuna göre, 8x in y türünden değerini bulalım.
Çözüm:
8x = (23)x
= (2x)3
= y3 tür.
Negatif Üs
a bir reel sayı olmak üzere,
a-n = (1 / an) dir.
Benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
(a / b)n = (b / a)-n dir.
Bir Reel Sayının Üssü
- Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ⇒ an > 0 dır.
- Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. a > 0 ve n çift sayı ise (-a)n = an > 0
- Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. a > 0 ve n tek sayı ise (-a)n = -an < 0 dır.
Üstlü İfadelerde Dört İşlem
- Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin toplamı, katsayıların toplamı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir. a.xn + b.xn = (a + b).xndir. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler toplanamaz
- Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin farkı, katsayıların farkı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir. a.xn - b.xn = (a - b).xn dir. Tabanları ya da üsleri farklı olan ifadeler arasında çıkarma işlemi yapılamaz.
- Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için; üsler toplamı ortak tabanın üssü olarak yazılır. am.an = am+n dir.
- Üstleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır. an.bn = (a.b)n dir.
- Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır. (am / an) = am-n dir.
- Üsleri eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; payın tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır. (am / bm) = (a / b)m dir.
Üstlü Denklemler
1. Tabanları Eşit olan Denklemler
Tabanları eşit olan üslü ifadelerin birbirine eşit olması için üstlerinin de birbirine eşit olması gerekmektedir.
a ≠ 0, a ≠ -1, a ≠ 1 olmak üzere,
am = an ⇒ m = n dir.
Örnek:
2x = 25 ⇒ x = 5 dir
Örnek:
3x-7 = 9x+2
eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
3x-7 = 9x+2
3x-7 = (32)x+2
3x-7 = 32x+4
x-7 = 2x + 4
x = -11
2. Üstleri Eşit Olan Denklemler
Üstleri eşit olan denklermlerde üs tek sayı ise tabanlar eşit, üst çift sayı ise tabanlar ya eşit ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
n tek sayı ve an = bn ⇒ a = b dir.
n çift sayı ve an = bn ⇒ a =b ya da a = -b dir.
Örnek:
x3 = 73 ise x = 7 dir.
x-4 = 5-4 ise x = 5 ya da x = -5 dir.
Örnek:
(x + 7)3 = (3x -11)3
eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
Üst tek sayı olduğu için tabanlar eşit olmak zorundadır.
x + 7 = 3x - 11
2x = 18
x = 9 dur.
Örnek:
(2x + 3)4 = (x - 2)4
eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
Üst çif sayı olduğu için tabanlar ya eşit yada zıt işaretlidir.
2x + 3 = x -2 ise
x = -5 olur.
2x + 3 = -(x - 2)
2x + 3 = 2 - x
3x = -1
x = -1 / 3 olmalıdır.
O halde x değeri -5 veya -1 / 3 değerlerini alabilir.
3. xn = 1 Denklemi
xn = 1 denkleminin çözümünde 3 durum vardır
⇒ x = 1 1. durum
xn = 1 ⇒ x ≠ 0 ve n = 0 2. durum
⇒ x = -1 ve n çift sayı 3. durum
Örnek:
53x-15 = 1
eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
53x-15 = 1 ifadesinde eşitliğin sağlanabilmesi için üssün 0 olması gerekiyor
3x - 15 = 0
x = 5 olmalıdır.
Örnek:
(x + 3)x-2 = 1
eşitliği sağlayan x değerlerini bulalım
⇒ x +3 = 1 1. durum
(x +3)x-2 = 1 ⇒ x +3 ≠ 0 ve x -2 = 0 2. durum
⇒ x + 3 = -1 ve x -2 çift sayı 3. durum
1. durum
x + 3 = 1 için x = -2 olmalıdır.
2. durum
x +3 ≠ 0 ve x -2 = 0 için x = 2 olmalıdır.
3. durum
x + 3 = -1 ve x -2 çift sayı için x = -4 olmalıdır.
O halde x in alabileceği değerler -4, -2 ve 2 dir.
0 Yorumlar